Dynamique chaotique des ondes de flexion dans les plaques élastiques minces
Benjamin Miquel (LPS)

Résumé :

Les ondes de flexion dans les plaques élastiques minces présentent dans la
limite des faibles amplitudes une phénoménologie de cascade turbulente :
lorsque de telles ondes sont forcées aux grandes échelles, les
interactions non linéaires permettent un transfert d’énergie vers les
échelles plus petites où la dissipation prédomine. Ce phénomène peut
s’entendre dans le son déchirant, rappelant celui du tonnerre, produit par
un gong. Le spectre de Zakharov associé à un flux d’énergie constant dans
le régime stationnaire a été prédit par During en appliquant la théorie de
la turbulence d’ondes aux équations dynamiques des plaques élastiques
minces : les équations de Foppl-von Karman. Deux hypothèses sont utilisées
lors de la dérivation : les transferts non linéaires sont lents devant la
période des ondes et il existe un domaine d’échelles intermédiaires exempt
de dissipation, appelé fenêtre de transparence, où l’énergie est
transférée conservativement dans l’espace spectral.

La caractérisation de l’amortissement des ondes dans notre système a
révélée l’absence d’une fenêtre de transparence. Incorporé à une
simulation numérique des équations de Foppl-von Karman, cet amortissement
permet de reproduire les spectres expérimentaux, plus raides que le
spectre théorique de Zakharov, validant ainsi la pertinence de la
description de l’expérience à l’aide de ces équations.

La solution de Zakharov est cependant retrouvée lorsque nous annulons la
dissipation aux échelles intermédiaires. L’existence d’une fenêtre de
transparence apparaît donc comme une condition nécessaire à l’observation
des prédictions de la turbulence d’ondes.

Enfin, l’hypothèse de la séparation d’échelle temporelle a été validée par
une mesure du temps non linéaire associé aux échanges d’énergie entre
ondes, utilisant une analyse en paquets d’ondes du mouvement. Cependant,
pour les très forts forçages expérimentaux, ce temps non linéaire devient
de l’ordre de la période des ondes aux grandes échelles, pour lesquelles
le spectre change de forme. Ces observations ont été prolongées grâce aux
simulations numériques, qui ont permis d’observer l’apparation d’un régime
fortement non linéaire dans lequel prédominent aux grandes échelles les
d-cones et les plis.

Abstract :

A turbulent cascade behaviour is observed for weak amplitude flexural
waves in thin elastic plates : when energy injection occurs at large
scales, nonlinear interactions are responsible for energy transfer between
waves toward smaller scales where energy is eventually dissipated. One can
hear this phenomenon in the thunder-like sound produced by a chinese gong.
By applying the wave turbulence theory to the dynamical equations for
vibrating plates — the Föppl-von Karman equations, Düring predicted the
Zakharov spectrum associated with a constant flux in the stationnary
regime. Two statements are made in the derivation : the nonlinear
exchanges are slow compared to the period of the waves and there exists
some intermediate range of scales, the so-called transparency window, over
which the energy is conservatively transferred.

The measure of the damping of the waves in our system revealed the absence
of a transparency window. When included in the numerical simulation of the
Foppl-von Karman equations, we reproduce the experimental spectra, that
are steeper than the theoretical Zakharov spectrum. The Foppl-von Karman
equations successfully describe the experiment.

However, the Zakharov solution is obtained when the dissipation is removed
from the intermediate scales. This supports the necessity of the existence
of a transparency window to observe the predictions of the wave
turbulence.

Last, the timescale separation has been validated with a measure of the
nonlinear timescale associated with energy exchanges using a wavepacket
analysis. However, for the strongest experimental forcing, the nonlinear
time is of order of magnitude of the period of the waves at large scales.
A variation of the shape of the spectrum at large scale is observed, as
some singular structures appear. This regime was investigated further with
numerical simulations where a strongly nonlinear, d-cones and
folds-dominated regime is observed.