Equations aux dérivées partielles non-linéaires - Département de Physique de l'Ecole Normale supérieure

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Equations aux dérivées partielles non-linéaires

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Enseignant : Stephan Fauve
Chargé de TD : Guillaume Michel
ECTS : 3
Langue d’enseignement : English

Description

1. Partial differential equations (PDEs) in physics

Examples
Why do we get PDEs of similar forms in different domains of physics ?
What are the mechanisms that generate nonlinearities ?

2. The nonlinear advection equation

Kinematic waves
The method of characteristics
Wave breaking
Shock waves
Examples from traffic flow, compressible gas dynamics, shallow water waves

3. Self-similar solutions of partial differential equations

Dimensional analysis and relation with group theory
Nonlinear diffusion and anomalous exponents
Advection-diffusion and some problems related to mixing of a passive scalar in a turbulent flow

4. The nonlinear Schrödinger equation (NLS)

Weakly nonlinear waves in a dispersive medium
The method of multiple scales
Side-band instability of a monochromatic wave
Solitary waves ; continuous family of solutions from dilatation and Galilean invariances
From NLS to the Korteweg-de Vries equation (KdV)

5. Some exact solutions of nonlinear PDEs

Burgers equation and the Hopf-Cole transformation
Hirota’s method to solve KdV equation
Collisions of solitons
Other methods to find exact solutions in integrable systems

6. Ginzburg-Landau equations

Examples from magnetism, supraconductivity and commensurate-incommensurate transitions
Long wavelength instabilities and defects
Dynamics of topological defects ; describing a system as a field or particles.

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