Les laboratoires de recherche  LabEx ENS-ICFP  Institut de Physique Théorique Philippe Meyer  
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Le département de physique Recherche Enseignement Diffusion des connaissances
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    Parcours Physique Theorique
    Enseignant : David Hernandez
    Chargé de TD : Achilleas Passias
    ECTS : 6
    Langue d’enseignement  : Anglais
    Modalités d’examen : Ecrit
    Modalité d’examen en cas de confinement liée à la pandémie Covid-19 : Examen oral sur le contenu du cours et des TD

    Il n’y a pas vraiment de prérequis, si ce n’est l’algèbre linéaire et général standard
    de premier cycle.

    Description

    La théorie des groupes et de leurs représentations est un sujet central et transverse qui étudie les symétries telles qu’elles apparaissent en mathématiques et dans les sciences en général, notamment en physique. La théorie de Lie (algèbres et groupes de Lie) en particulier a été un thème central en mathématiques depuis ses origines au 19 ème siècle, avec des applications dans diverses branches des mathématiques et de la physique.

    Le but de ce cours est de donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations. Nous étudierons des exemples remarquables (en particulier pour les applications en physique).

    Plan indicatif du cours :

    1. Représentations des groupes et des algèbres.

    Généralités.
    Groupes finis et leurs caractères.

    2. Groupes et algèbres de Lie de dimension finie

    Groupes de Lie, algèbres de Lie.
    Exemples fondamentaux, algèbres de Heisenberg.
    Algèbres de Lie semi-simples.
    Catégories de représentations, représentations irréductibles.
    Complète réductibilité.
    Structure des algèbres de Lie semi-simples.
    Systèmes de racines, groupe de Weyl.

    3. Représentations des algèbres de Lie de dimension finie.
    Modules de plus haut poids, modules de Verma, catégorie O.
    Paramétrisation des représentations simples. Séries de Jordan-Holder. Multiplicités.
    Représentations de dimension finie. Structure tensorielle, caractères.

    4. Algèbres de Lie de dimension infinie : exemples fondamentaux.
    Algèbres de Kac-Moody, représentations intégrables.
    Algèbres de lacets et extensions centrales.
    Algèbres de Virasoro.
    Groupes quantiques et équation de Yang-Baxter.

    Références pour le cours (pour commencer, le Fulton-Harris est très bien) :

    • V. Chari and A. Pressley, A guide to quantum groups, Cambridge University Press.
    • P. Etingof, I. Frenkel and A. Kirillov, Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations, Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society.
    • W. Fulton and J. Harris, Representation Theory : a first course, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag.
    • J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag.
    • V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge University Press.
    • Y. Kosmann-Schwarzbach Groupes et symétries : Groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, Editions de l’école polytechnique
    • J-P. Serre, Lie algebras and Lie groups, 1964 lectures given at Harvard University,
      Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)
    • S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press.

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